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初三上册数学期末试卷及答案解析

2020-04-30 12:05:02 初三知识点 访问手机版

  【导语:】这篇关于初三上册数学期末试卷及答案解析的文章,是免费学习网特地为大家整理的,希望对大家有所帮助!

  一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的序号填在答题卡上)

  1.抛物线y=(x﹣1)2﹣3的对称轴是()

  A.y轴B.直线x=﹣1C.直线x=1D.直线x=﹣3

  【考点】二次函数的性质.

  【分析】根据二次函数的顶点式y=(x﹣h)2+k,对称轴为直线x=h,得出即可.

  【解答】解:抛物线y=(x﹣1)2﹣3的对称轴是直线x=1.

  故选:C.

  【点评】本题考查了二次函数的性质,解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线,这是此题易忽略的地方.

  2.某校在体育健康测试中,有8名男生“引体向上”的成绩(单位:次)分别是:14,12,10,8,9,16,12,7,这组数据的中位数和众数分别是()

  A.10,12B.12,11C.11,12D.12,12

  【考点】众数;中位数.

  【专题】计算题.

  【分析】先把原数据按由小到大排列,然后根据中位数和众数的定义求解.

  【解答】解:原数据按由小到大排列为:7,8,9,10,12,12,14,16,

  所以这组数据的中位数==11,众数为12.

  故选C.

  【点评】本题考查了众数:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.也考查了中位数的定义.

  3.在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球,这些球除颜色外其余完全相同,摇匀后随机摸出一个,摸到红球的概率是,则n的值为()

  A.3B.5C.8D.10

  【考点】概率公式.

  【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程,求出n的值即可.

  【解答】解:∵摸到红球的概率为,

  ∴P(摸到黄球)=1﹣=,

  ∴=,

  解得n=8.

  故选:C.

  【点评】本题考查概率的求法与运用,根据概率公式求解即可:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.

  4.对于二次函数y=(x﹣1)2+2的图象,下列说法正确的是()

  A.开口向下B.对称轴是x=﹣1

  C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有两个交点

  【考点】二次函数的性质.

  【专题】常规题型.

  【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上,根据顶点式得到顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,从而可判断抛物线与x轴没有公共点.

  【解答】解:二次函数y=(x﹣1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.

  故选:C.

  【点评】本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点式为y=a(x﹣)2+,的顶点坐标是(﹣,),对称轴直线x=﹣b2a,当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下.

  5.如图,△ABD的三个顶点在⊙O上,AB是直径,点C在⊙O上,且∠ABD=52°,则∠BCD等于()

  A.32°B.38°C.52°D.66°

  【考点】圆周角定理.

  【分析】由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,即可求得∠ADB的度数,继而求得∠A的度数,又由圆周角定理,即可求得答案.

  【解答】解:∵AB是⊙O的直径,

  ∴∠ADB=90°,

  ∵∠ABD=52°,

  ∴∠A=90°﹣∠ABD=38°;

  ∴∠BCD=∠A=38°.

  故选:B.

  【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.

  6.如图,用一个半径为30cm,面积为300πcm2的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥(不计损耗),则圆锥的底面半径r为()

  A.10cmB.5cmC.20cmD.5πcm

  【考点】圆锥的计算.

  【专题】计算题.

  【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•30=300π,然后解方程即可.

  【解答】解:根据题意得•2π•r•30=300π,

  解得r=10(cm).

  故选A.

  【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.

  7.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=﹣x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为()

  A.﹣20mB.10mC.20mD.﹣10m

  【考点】二次函数的应用.

  【分析】根据题意,把y=﹣4直接代入解析式即可解答.

  【解答】解:根据题意B的纵坐标为﹣4,

  把y=﹣4代入y=﹣x2,

  得x=±10,

  ∴A(﹣10,﹣4),B(10,﹣4),

  ∴AB=20m.

  即水面宽度AB为20m.

  故选C.

  【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.

  8.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:

  x…﹣3﹣2﹣101…

  y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…

  则该函数图象的顶点坐标为()

  A.(﹣3,﹣3)B.(﹣2,﹣2)C.(﹣1,﹣3)D.(0,﹣6)

  【考点】二次函数的性质.

  【专题】压轴题.

  【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴,然后解答即可.

  【解答】解:∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等,

  ∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2,

  ∴顶点坐标为(﹣2,﹣2).

  故选:B.

  【点评】本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称性,仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键.

  二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共,30分.不需写出解答过程,请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上)

  9.“植树节”时,2016届九年级一班6个小组的植树棵数分别是:5,7,3,x,6,4.已知这组数据的众数是5,则该组数据的平均数是5.

  【考点】算术平均数;众数.

  【分析】首先根据众数为5得出x=5,然后根据平均数的概念求解.

  【解答】解:∵这组数据的众数是5,

  ∴x=5,

  则平均数为:=5.

  故答案为:5.

  【点评】本题考查了众数和平均数的知识,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

  10.已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k.

  【考点】根的判别式.

  【分析】关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根,即判别式△=b2﹣4ac>0.即可得到关于k的不等式,从而求得k的范围

  【解答】解:∵a=1,b=﹣2,c=3k,

  ∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×3k=4﹣12k>0,

  解得:k<.

  故答案为:k<.

  【点评】此题考查了根的判别式,用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.

  11.已知圆锥的底面圆的周长为8,母线长为5,则圆锥的侧面积是20.

  【考点】圆锥的计算.

  【分析】根据扇形面积公式进行计算即可.

  【解答】解:∵圆锥的底面圆的周长为8,母线长为5,

  ∴圆锥的侧面积为:×8×5=20.

  故答案为:20.

  【点评】本题考查的是圆锥侧面面积的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

  12.如图,转盘中8个扇形的面积都相等,任意转动转盘1次,当转盘停止转动时,指针指向大于6的数的概率为.

  【考点】概率公式.

  【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.

  【解答】解:∵共8个数,大于6的有2个,

  ∴P(大于6)==,

  故答案为:.

  【点评】本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.

  13.一元二次方程x(x+3)=x的解是x1=0,x2=﹣2.

  【考点】解一元二次方程-因式分解法.

  【专题】计算题.

  【分析】方程移项后,提取公因式化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.

  【解答】解:方程变形得:x(x+3)﹣x=0,

  分解因式得:x(x+3﹣1)=0,

  可得x=0或x+2=0,

  解得:x1=0,x2=﹣2.

  故答案为:x1=0,x2=﹣2.

  【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

  14.某校要从四名学生中选拔一名参加“汉字听写”人赛,选择赛中每名学生的平均学生的平均成绩及其方差s2如表所示,如果要选一名成绩高且发挥稳定的学生参赛,则应选择的学生是乙.

  甲乙丙丁

  8998

  s2111.21.3

  【考点】方差.

  【分析】首先比较出四名学生的平均成绩的高低,判断出乙、丙两名学生的平均成绩高于甲、丁两名学生;然后比较出乙、丙的方差,判断出发挥稳定的是哪名学生,即可确定应选择哪名学生去参赛.

  【解答】解:∵9>8,

  ∴乙、丙两名学生的平均成绩高于甲、丁两名学生,

  又∵1<1.2,

  ∴乙的方差小于丙的方差,

  ∴乙发挥稳定,

  ∴要选一名成绩高且发挥稳定的学生参赛,则应选择的学生是乙.

  故答案为:乙.

  【点评】此题主要考查了方差的含义和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.

  15.把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a(x﹣h)2+k的形式y=(x﹣6)2﹣36.

  【考点】二次函数的三种形式.

  【分析】由于二次项系数为1,所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式.

  【解答】解:y=x2﹣12x=(x2﹣12x+36)﹣36=(x﹣6)2﹣36,即y=(x﹣6)2﹣36.

  故答案为y=(x﹣6)2﹣36.

  【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式:

  (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数);

  (2)顶点式:y=a(x﹣h)2+k;

  (3)交点式(与x轴):y=a(x﹣x1)(x﹣x2).

  16.如图,小正方形的边长均为1,点B、O都在格点上,以O为圆心,OB为半径画弧,如图所示,则劣弧BC的长是π.

  【考点】弧长的计算.

  【分析】根据网格得出BO的长,再利用弧长公式计算得出即可.

  【解答】解:如图所示:∠BOC=45°,BO=2,

  ∴劣弧BC的长是:=π,

  故答案为π.

  【点评】本题考查了弧长公式的应用,熟练记忆弧长公式是解题关键.

  17.如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为直线x=1.

  【考点】抛物线与x轴的交点.

  【专题】计算题.

  【分析】利用抛物线的对称性求解.

  【解答】解:∵抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,

  ∴点(1,0)和点(3,0)为抛物线上的对称点,

  ∴点(1,0)与点(3,0)关于直线x=1对称,

  ∴抛物线的对称轴为直线x=1.

  故答案为x=1.

  【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:从解析式y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0)中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0).

  18.如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为60°.

  【考点】翻折变换(折叠问题);圆周角定理.

  【分析】作半径OC⊥AB于D,连结OA、OB,如图,根据折叠的性质得OD=CD,则OD=OA,根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°,接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°,然后根据圆周角定理计算∠APB的度数.

  【解答】解:如图作半径OC⊥AB于D,连结OA、OB.

  ∵将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,

  ∴OD=CD.

  ∴OD=OC=OA.

  ∴∠OAD=30°,

  ∵OA=OB,

  ∴∠ABO=30°.

  ∴∠AOB=120°.

  ∴∠APB=∠AOB=60°.

  故答案为:60°.

  【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质,求得∠OAD=30°是解题的关键.

  三、(本大题共9小题,共计96分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明)

  19.解方程:

  (1)x2+4x﹣1=0

  (2)(x+2)2﹣25=0.

  【考点】解一元二次方程-配方法;解一元二次方程-直接开平方法.

  【分析】(1)把常数项﹣1移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方;

  (2)把﹣25移项后,直接开平方即可.

  【解答】解:(1)移项得x2+4x=1,

  配方得x2+4x+4=1+4,

  即(x+2)2=5,

  开方得x+2=±,

  ∴x1=﹣2,x2=﹣﹣2;

  (2)移项得(x+2)2=25,

  开方得x+2=±5,

  ∴x1=3,x2=﹣7.

  【点评】本题考查了解一元二次方程,配方法的一般步骤:

  (1)把常数项移到等号的右边;

  (2)把二次项的系数化为1;

  (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

  选择用配方法解一元二次方程时,使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

  20.一个不透明的口袋中装有2个红球(记为红球1、红球2),1个白球、1个黑球,这些球除颜色外都相同,将球搅匀.

  (1)从中任意摸出1个球,恰好摸到红球的概率是

  (2)先从中任意摸出一个球,再从余下的3个球中任意摸出1个球,请用列举法(画树状图或列表),求两次都摸到红球的概率.

  【考点】列表法与树状图法;概率公式.

  【专题】计算题.

  【分析】(1)根据4个小球中红球的个数,即可确定出从中任意摸出1个球,恰好摸到红球的概率;

  (2)列表得出所有等可能的情况数,找出两次都摸到红球的情况数,即可求出所求的概率.

  【解答】解:(1)4个小球中有2个红球,

  则任意摸出1个球,恰好摸到红球的概率是;

  故答案为:;

  (2)列表如下:

  红红白黑

  红﹣﹣﹣(红,红)(白,红)(黑,红)

  红(红,红)﹣﹣﹣(白,红)(黑,红)

  白(红,白)(红,白)﹣﹣﹣(黑,白)

  黑(红,黑)(红,黑)(白,黑)﹣﹣﹣

  所有等可能的情况有12种,其中两次都摸到红球有2种可能,

  则P(两次摸到红球)==.

  【点评】此题考查了列表法与树状图法,以及概率公式,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

  21.如图线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上,现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC.

  (1)请你用尺规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径;

  (2)若将此网格放在一平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(﹣2,﹣1),则点C的坐标为5,0;

  (3)线段AB在旋转到线段AC的过程中,线段AB扫过的区域的面积为;

  (4)若有一张与(3)中所说的区域形状相同的纸片,将它围成一个几何体的侧面,则该几何体底面圆的半径长为.

  【考点】扇形面积的计算;弧长的计算;作图-旋转变换.

  【专题】几何图形问题;网格型.

  【分析】(1)线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC.线段AC及点B经过的路径是一段弧,根据弧长公式计算路径;

  (2)根据点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(﹣2,﹣1),可建立直角坐标系,从直角坐标系中读出点C的坐标为(5,0);

  (3)线段AB在旋转到线段AC的过程中,线段AB扫过的区域的面积为一个扇形,根据扇形公式计算;

  (4)将它围成一个几何体即圆锥的侧面,则该几何体底面圆的周长就等于弧长,利用此等量关键可计算出半径.

  【解答】解:(1)如图,为点B经过的路径;

  (2)(5,0);

  (3)线段AB在旋转到线段AC的过程中,线段AB扫过的区域的面积为一个扇形,

  根据扇形公式计算

  =;

  (4)将它围成一个几何体即圆锥的侧面,则该几何体底面圆的周长就等于弧长,

  =2πr

  解得r=.

  【点评】本题综合考查了坐标系,旋转图形,及圆的弧长公式,扇形的面积公式等,所以学生学过的知识一定要系统起来.

  22.为建设美丽家园,某企业逐年增加对环境保护的经费投入,2013年投入了400万元,到2015年投入了576万元.

  (1)求2013年至2015年该单位环保经费投入的年平均增长率;

  (2)该单位预计投入环保经费不低于700万元,若希望继续保持前两年的年平均增长率,问该目标能否实现?请通过计算说明理由.

  【考点】一元二次方程的应用.

  【专题】增长率问题.

  【分析】(1)设2013年至2015年该单位环保经费投入的年平均增长率为x,由题意得等量关系:2013年投入×(1+增长率)2=2015年投入,根据等量关系列出方程,再解即可;

  (2)利用2015年投入了576万元×1+增长率,算出结果与700万元进行比较即可.

  【解答】解:(1)设2013年至2015年该单位环保经费投入的年平均增长率为x,由题意得:

  400(1+x)2=576,

  解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去),

  答:2013年至2015年该单位环保经费投入的年平均增长率为20%;

  (2)576×(1+20%)=691.2<700,

  答:若希望继续保持前两年的年平均增长率,该目标不能实现.

  【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,设出未知数,列出方程.

  23.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为点D,且∠BAC=∠DAC.求证:MN是⊙O的切线.

  【考点】切线的判定.

  【专题】证明题.

  【分析】连接OC,推出AD∥OC,得出OC⊥MN,根据切线的判定定理即可得出结论.

  【解答】证明:连接OC,如图所示:

  ∵OA=OC,

  ∴∠BAC=∠OCA,

  ∵∠BAC=∠DAC,

  ∴∠DAC=∠OCA,

  ∴OC∥AD,

  ∵AD⊥MN,

  ∴OC⊥MN,

  ∵OC为半径,

  ∴MN是⊙O的切线.

  【点评】本题考查了切线的判定定理,等腰三角形的判定和性质,平行线的判定与性质;熟练掌握切线的判定定理,证明OC∥AD是解决问题的关键.

  24.某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每天可卖出190件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每天少卖10件,设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每天的销售利润为y元.

  (1)求y关于x的关系式;

  (2)每件商品的售价定为多少元时,每天的利润恰为1980元?

  (3)每件商品的售价定为多少元时,每天可获得利润?利润是多少元?

  【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用.

  【分析】(1)利用销量乘以每件利润=总利润得出关系式即可;

  (2)利用(1)中所求关系式,进而使y=1980进而得出即可;

  (3)利用配方法求出二次函数最值,结合x的取值范围得出答案.

  【解答】解:(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每天的销售利润为y元,

  则y=(60﹣50+x)=﹣10x2+90x+1900;

  (2)当y=1980,则1980=﹣10x2+90x+1900,

  解得:x1=1,x2=8.

  故每件商品的售价定为61元或68元时,每天的利润恰为1980元;

  (3)y=﹣10x2+90x+1900=﹣10(x﹣)2+2102.5,

  故当x=5或4时,y=2100(元),

  即每件商品的售价定为64元或65元时,每天可获得利润,利润是2100元.

  【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法,得出y与x的函数关系式是解题关键.

  25.如图,二次函数的图象与x轴相交于A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与y轴相交于点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B、D.

  (1)求D点坐标;

  (2)求二次函数的解析式;

  (3)根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围.

  【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式;二次函数与不等式(组).

  【分析】(1)利用点C、D是二次函数图象上的一对对称点,可得出D点的坐标;

  (2)设该抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),然后将点C的坐标代入来求a的值;

  (3)在坐标系中利用x取相同值,比较出对应值的大小,从而确定,两函数的大小关系.

  【解答】解:(1)∵抛物线的对称轴是x=﹣1,而C、D关于直线x=﹣1对称,

  ∴D(﹣2,3);

  (2)设该抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),

  把C(0,3)代入,得

  3=a(0+3)(0﹣1),

  解得a=﹣1,

  所以该抛物线的解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3,

  即y=﹣x2﹣2x+3;

  (3)根据图象知,一次函数值小于二次函数值的x的取值范围是:﹣2<x<1.

  【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,二次函数的对称性,以及待定系数法求二次函数解析式和利用自变量的取值范围确定函数值大小关系,题目难度不大,非常典型.

  26.在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.

  (1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;

  (2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的值.

  【考点】圆周角定理;勾股定理;解直角三角形.

  【专题】计算题.

  【分析】(1)连结OQ,如图1,由PQ∥AB,OP⊥PQ得到OP⊥AB,在Rt△OBP中,利用正切定义可计算出OP=3tan30°=,然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=;

  (2)连结OQ,如图2,在Rt△OPQ中,根据勾股定理得到PQ=,则当OP的长最小时,PQ的长,根据垂线段最短得到OP⊥BC,则OP=OB=,所以PQ长的值=.

  【解答】解:(1)连结OQ,如图1,

  ∵PQ∥AB,OP⊥PQ,

  ∴OP⊥AB,

  在Rt△OBP中,∵tan∠B=,

  ∴OP=3tan30°=,

  在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,

  ∴PQ==;

  (2)连结OQ,如图2,

  在Rt△OPQ中,PQ==,

  当OP的长最小时,PQ的长,

  此时OP⊥BC,则OP=OB=,

  ∴PQ长的值为=.

  【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了勾股定理和解直角三角形.

  27.如图,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,连结AM、BM.

  (1)求抛物线的函数关系式;

  (2)判断△ABM的形状,并说明理由;

  (3)把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将(1)中抛物线平移,使其顶点为(m,2m),当m满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点.

  【考点】二次函数综合题.

  【专题】压轴题.

  【分析】(1)由条件可分别求得A、B的坐标,设出抛物线解析式,利用待定系数法可求得抛物线解析式;

  (2)结合(1)中A、B、C的坐标,根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM,可得到AB2+AM2=BM2,可判定△ABM为直角三角形;

  (3)由条件可写出平移后的抛物线的解析式,联立y=x,可得到关于x的一元二次方程,根据根的判别式可求得m的范围.

  【解答】解:(1)∵A点为直线y=x+1与x轴的交点,

  ∴A(﹣1,0),

  又B点横坐标为2,代入y=x+1可求得y=3,

  ∴B(2,3),

  ∵抛物线顶点在y轴上,

  ∴可设抛物线解析式为y=ax2+c,

  把A、B两点坐标代入可得,解得,

  ∴抛物线解析式为y=x2﹣1;

  (2)△ABM为直角三角形.理由如:

  由(1)抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为(0,﹣1),

  ∴AM=,AB===3,BM==2,

  ∴AM2+AB2=2+18=20=BM2,

  ∴△ABM为直角三角形;

  (3)当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为(m,2m)时,其解析式为y=(x﹣m)2+2m,即y=x2﹣2mx+m2+2m,

  联立y=x,可得,消去y整理可得x2﹣(2m+1)x+m2+2m=0,

  ∵平移后的抛物线总有不动点,

  ∴方程x2﹣(2m+1)x+m2+2m=0总有实数根,

  ∴△≥0,即(2m+1)2﹣4(m2+2m)≥0,

  解得m≤,

  即当m≤时,平移后的抛物线总有不动点.

  【点评】本题主要考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点.在(1)中确定出A、B两点的坐标是解题的关键,在(2)中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键,在(3)中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键.本题考查知识点较为基础,难度适中.