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高一函数知识点总结归纳

2024-02-29 22:35:12 学习方法 访问手机版

高中数学的学习难度主要在于概念的深入和的抽象。高一是数学学习的起步阶段,更是重中之重。今天小编在这给大家整理了高一函数知识点,接下来随着小编一起来看看吧!

高一函数知识点总结

1函数知识点归纳1、函数:设A、B为非空集合,如果按照某个特定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,写作y=f(x),x∈A,其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。

2、函数定义域的解题思路:

⑴ 若x处于分母位置,则分母x不能为0。

⑵ 偶次方根的被开方数不小于0。

⑶ 对数式的真数必须大于0。

⑷ 指数对数式的底,不得为1,且必须大于0。

⑸ 指数为0时,底数不得为0。

⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么,它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。

⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

3、相同函数

⑴ 表达式相同:与表示自变量和函数值的字母无关。

⑵ 定义域一致,对应法则一致。

4、函数值域的求法

⑴ 观察法:适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。

⑵ 图像法:适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

⑶ 配方法:主要用于二次函数,配方成 y=(x-a)2+b 的形式。

⑷ 代换法:主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。

5、函数图像的变换

⑴ 平移变换:在x轴上的变换在x上就行加减,在y轴上的变换在y上进行加减。

⑵ 伸缩变换:在x前加上系数。

⑶ 对称变换:高中阶段不作要求。

6、映射:设A、B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于A中的任意仪的元素x,在集合B中都有唯一的确定的y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的映射。

⑴ 集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的。

⑵ 集合A中的不同元素,在集合B中对应的象可以是同一个。

⑶ 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

7、分段函数

⑴ 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。

⑵ 各部分自变量和函数值的取值范围不同。

⑶ 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集。

8、复合函数:如果(u∈M),u=g(x) (x∈A),则,y=f[g(x)]=F(x) (x∈A),称为f、g的复合函数。

2高一数学函数的性质1、函数的局部性质——单调性

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么y=f(x)在区间d上是增函数,d是函数y=f(x)的单调递增区间;当x1< x2时,都有f(x1)="">f(x2),那么那么y=f(x)在区间D上是减函数,D是函数y=f(x)的单调递减区间。

⑴函数区间单调性的判断思路

ⅰ在给出区间内任取x1、x2,则x1、x2∈D,且x1< x2。

ⅱ 做差值f(x1)-f(x2),并进行变形和配方,变为易于判断正负的形式。

ⅲ判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号,指出单调性。

⑵复合函数的单调性

复合函数y=f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律为“同增异减”;多个函数的复合函数,根据原则“减偶则增,减奇则减”。

⑶注意事项

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集,如果函数在区间A和B上都递增,则表示为f(x)的单调递增区间为A和B,不能表示为A∪B。

2、函数的整体性质——奇偶性

对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x) =f(-x),则f(x)就为偶函数;

对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x) =-f(x),则f(x)就为奇函数。

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⑴奇函数和偶函数的性质

ⅰ无论函数是奇函数还是偶函数,只要函数具有奇偶性,该函数的定义域一定关于原点对称。

ⅱ奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。

⑵函数奇偶性判断思路

ⅰ先确定函数的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则为非奇非偶函数。

ⅱ确定f(x) 和f(-x)的关系:

若f(x) -f(-x)=0,或f(x) /f(-x)=1,则函数为偶函数;

若f(x)+f(-x)=0,或f(x)/ f(-x)=-1,则函数为奇函数。

3、函数的最值问题

⑴对于二次函数,利用配方法,将函数化为y=(x-a)2+b的形式,得出函数的最大值或最小值。

⑵对于易于画出函数图像的函数,画出图像,从图像中观察最值。

⑶关于二次函数在闭区间的最值问题

ⅰ判断二次函数的顶点是否在所求区间内,若在区间内,则接ⅱ,若不在区间内,则接ⅲ。

ⅱ若二次函数的顶点在所求区间内,则在二次函数y=ax2+bx+c中,a>0时,顶点为最小值,a<0时顶点为最大值;后判断区间的两端点距离顶点的远近,离顶点远的端点的函数值,即为a>0时的最大值或a<0时的最小值。

ⅲ 若二次函数的顶点不在所求区间内,则判断函数在该区间的单调性

若函数在[a,b]上递增,则最小值为f(a),最大值为f(b);

若函数在[a,b]上递减,则最小值为f(b),最大值为f(a)。

3高一数学基本初等函数1、指数函数:函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数

a的取值 a>1 0<a<1 定义域 x∈R x∈R 值域 y∈(0,+∞) y∈(0,+∞) 单调性 全定义域单调递增 全定义域单调递减 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 过定点 (0,1) (0,1)

注意:⑴由函数的单调性可以看出,在闭区间[a,b]上,指数函数的最值为:

a>1时,最小值f(a),最大值f(b);0<a<1时,最小值f(b),最大值f(a)。< p="">

⑵ 对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1),都有f(1)=a。

2、对数函数:函数y=logax(a>0且a≠1)),叫做对数函数

a的取值 a>1 0<a<1 定义域 x∈(0,+∞) x∈(0,+∞) 值域 y∈R y∈R 单调性 全定义域单调递 全定义域单调递减 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 过定点 (1,0) (1,0)

3、幂函数:函数y=xa(a∈R),高中阶段,幂函数只研究第I象限的情况。

⑴所有幂函数都在(0,+∞)区间内有定义,而且过定点(1,1)。

⑵a>0时,幂函数图像过原点,且在(0,+∞)区间为增函数,a越大,图像坡度越大。

⑶a<0时,幂函数在(0,+∞)区间为减函数。

当x从右侧无限接近原点时,图像无限接近y轴正半轴;

当y无限接近正无穷时,图像无限接近x轴正半轴。

幂函数总图见下页。

4、反函数:将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。

反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。

高中数学怎么学?

一、数学的学习时间应该占全部总学科的50%左右;

数学是一个费时费力的学科,无论文理。对于文科和理科来说,数学的高考成绩都是重中之重。比如文科,鲜有听到一个班文综成绩能差60分以上的,但数学别说60,80都能差出来。对于理科,物理,化学都需要大量的运算,数学的学习又是提供一种工具与思维。因此,对于之前的文理科,抑或是现在取消文理以后的偏文,偏理科来说,数学都是非常重要的。

数学在课下学习的时间,大约应该占到整体学习的50%左右。比如每天晚上学习3个小时,至少有1个半小时要学习数学。为啥需要这么长时间?主要就是因为,很多数学题需要相对长时间的思考与总结。不过,相信我,当你数学成绩显著提高以后,其他学科成绩会非常容易提升。同时,你可以做个小小的调查,但凡是数学学习成绩非常好,并且成绩很稳定的同学,他的数学相关学习时间也基本符合50%这个比例。

二、每一道数学题都值得做三遍;

对于每一道数学题(特别特别简单的除外),都要做三遍。

第1遍就是正常做,然后对照参考答案与解题思路,更正答案。

第2遍做一般是隔天效果最好,重新再快速地把之前所有的题目全部都重新做一遍,这个“做”不是和第1遍一样1字不差,从头到尾地演算。而是要针对关键步骤,关键思路进行整理。比如之前看到某一个题目的时候,我们的想法是A,结果正确的解题思路是B,A和B相比差异非常大。这个时候我们就需要通过第2遍做,更正我们的思路,纠正我们的,改变我们的思考习惯。第2遍做的时候,还是出错的题目,就一定要用星号重点标注,留备复习使用。

第3遍做,最好是7天以后。时隔七天,这个时候再做一遍,你就会有豁然开朗的感觉。对于90%以上的题目,你基本上就是看到题目就知道思路是什么,解题步骤是什么,甚至你都能记得每一步之前计算的结果是什么,错在了哪里。对于之前第2遍做错了,标注星号的题目一定要认认真真,从头开始再做1次,这个时候如果还感觉不熟练,还是做错,那么就需要请出我们的错题本了。

三、要有一个自己的错题记录本;

错题本的意义,不是把每一道你做错的题目都誊写一遍,而是要把那些反复做不对,反复做都有差错的题目保存下来。错题本的本质,是对我们思维方式,思考习惯的一个纠正。在这个错题本上的题目都应该是做了3遍还会出错的题目。

而错题本的记录内容,至少应该包括下面几个内容。1是完整的题目信息;2是用自己的方式演算出的正确答案(将参考答案照抄一遍没有任何意义);3是自己对这个题目的评论,需要重点指出关键步骤,以及自己最初的想法与正确做法的差异在哪里。

此外,错题本需要长期积累,不要1个月1个本,而是要尽量以年为单位进行更换错题本。每次考试之前,都认认真真地重做一次错题本上的题目,你会有“涅槃”的感觉,而这些题目的积累将是你学习过程中最宝贵的财富之一。

四、要看课本;

很多人觉得,数学课本可能是中学阶段最“水”的课本了,都觉得课本上的习题都简单的不行,一眼出答案,怎么就还需要看课本呢?其实,这些人都是知其然而不知其所以然。我们思考一个问题,高考考什么?高考是一个划定了考试大纲的考试,也就是所有的考试范围你是都知道的。那么什么是高考的考试大纲范围?就是我们的课本呀!!!

在经过一段时间的学习以后,比如是一个章节的学习,就一定要拿出数学课本,找一个连贯的时间,静静地读完数学课本里对应章节的每一段话,每一个字,包括所有的补充材料。当然,课后的习题,也都要通读。在读完这些内容以后,最后还要翻开课本的目录,对应这个章节的每一个小标题,静心回忆一下每一个小标题的最重要的知识点,你最感兴趣的内容等等。

五、要构建自己的知识网络;

很多人觉得,数学的学习就是做题,把能做的题目都做了,把能改的错误都改了便能学好数学。我个人认为,这样做确实能够提高成绩,但仅仅是提高了成绩,却没有学到知识。人的认知是网状的,而不是线性的,如果想要把一个东西真的弄懂,内化成自己的知识,就一定要有层级结构记忆的概念。最终要有自己对学科的认知。

比如,我对高中数学的认知:方程,函数,不等式,逻辑命题是基础;数列是离散化的函数;平面解析几何本质上是通过条件,列方程,解方程;立体几何属于独立部分;除此以外,还有一些其他边边角角的小知识点,比如概率论初步,微积分初步等等。

说这么多,就是希望大家最终学到手的知识,一定要总结,一定要内化,一定要尝试构建自己的认知体系,一定要有高屋建瓴的感觉。不能专注于某一个细节“流连忘返”,而是要不断的zoomin, zoom out,平衡整体与部分的关系,建立起自己对整个数学学科的理解。

六、大型考试之前的准备工作

考试之前,需要做好3件事情。1是需要认真阅读课本目录,目录中每个标题对应的知识重点;2是需要把错题本上的所有错题全部重新过一遍;3是好好休息,没必要临时突击。

只要能做到以上6点,我相信你能够收获一个满意的成绩。