考研数学冲刺矩阵相似对角化要点及技巧
在考研数学中，矩阵相似对角化是每年考察的重点和难点，对于各位考研人来说尤其要注意把握。小编为大家精心准备了考研数学冲刺矩阵相似对角化复习要点和秘诀，欢迎大家前来阅读。
考研数学冲刺矩阵相似对角化重点和方法
★一般方阵的相似对角化理论
这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。
1、判断方阵是否可相似对角化的条件：
1充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量;
2充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-rλE-A=k
3充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;
4充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。
【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。
2、求方阵的特征值：
1具体矩阵的特征值：
这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算;
2抽象矩阵的特征值：
抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。
★实对称矩阵的相似对角化理论
其实质还是矩阵的相似对角化问题，与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。
这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A。
最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。
1、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
1不同特征值的特征向量一定正交
2k重特征值一定满足满足n-rλE-A=k
【注】由性质2可知，实对称矩阵一定可以相似对角化;且有1可知，实对称矩阵一定可以正交相似对角化。
2、会求把对称矩阵正交相似化的正交矩阵
【注】熟练掌握施密特正交化的公式;特别注意的是：只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化，不同特征值对应的特征向量一定正交当然除非你计算出错了会发现不正交。
3、实对称矩阵的特殊考点：
实对称矩阵一定可以相似对角化，利用这个性质可以得到很多结论，比如：
1实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数
这个结论只对实对称矩阵成立，不要错误地使用。
2两个实对称矩阵，如果特征值相同，一定相似
同样地，对于一般矩阵，这个结论也是不成立的。
4、实对称矩阵在二次型中的应用
使用正交变换把二次型化为标准型使用的方法本质上就是实对称矩阵的.正交相似对角化。
考研数学综合题解题切入点
一、做典型题，培养解题思路
典型题可以理解为基础题以和常考题型。做这种题时考生要积极主动思考，不能只是为了做题而做题。要在做题的基础上更深入地理解、掌握知识，所学的知识才能变成自己的知识，这样才能使自己具有独立的解题能力。
例如线性代数的计算量比较大，但纯计算的题目比较少，一般都是证明中带有计算，抽象中夹带计算。这就要求考生在做题时要注意证明题的逻辑严紧性，掌握知识点在证明结论时的基本使用方法，虽然线性代数的考试可以考的很灵活，但这些基本知识点的使用方法却比较固定，只要熟练掌握各种拼接方式即可。
尽管试题千变万化，但其知识结构基本相同，题型相对固定，这就需要考生在研究真题和做模拟题时提炼题型。提练题型的目的，是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题的速度和准确性。
二、找切入点，理清知识脉络
考生们在解综合题时，最关键的一步是找到解题的切入点。所以大家需要对解题思路很熟悉，能够看出题目与复习过的知识点、题型之间存在的联系。在考研复习中要对所学知识进行重组，理清知识脉络，应用起来更加得心应手。
解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关的数学模型，将其化为某数学问题求解。建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。
三、选常规题，珍惜复习时间
对于比较偏门和奇怪的试题，建议大家不要花太多的时间。同学们在复习中做好分析好考研数学的常规题目便已足够。研究生考试不是数学竞赛，出现偏门和怪题的情况微乎其微，因此完全没必要浪费时间。
考研复习中，遇到比较难的题目，自己独立解决确实能提高能力。但复习时间毕竟有限，在确定思考不出结果时，要及时寻求帮助。一定要避免一时性起，盯住一个题目做大半天的冲动。
考研数学易错点分析
高等数学
1.函数在一点处极限存在，连续，可导，可微之间关系。对于一元函数函数连续是函数极限存在的充分条件。若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。若函数在某点不连续，则该函数在该点不一定无极限。若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续，可导与可微等价。而对于二元函数，只能又可微推连续和可导偏导都存在，其余都不成立。
2.基本初等函数与初等函数的连续性：基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。
3.极值点，拐点。驻点与极值点的关系：在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点，而函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。注意极值点和拐点的定义一充、二充、和必要条件。
4.夹逼定理和用定积分定义求极限。这两种方法都可以用来求和式极限，注意方法的选择。还有夹逼定理的应用，特别是无穷小量与有界量之积仍是无穷小量。
5.可导是对定义域内的点而言的，处处可导则存在导函数，只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其它各处均可导。
6.泰勒中值定理的应用，可用于计算极限以及证明。
7.比较积分的大小。定积分比较定理的应用常用画图法，多重积分的比较，特别注意第二类曲线积分，曲面积分不可直接比较大小。
8.抽象型的多元函数求导，反函数求导高阶，参数方程的二阶导，以及与变限积分函数结合的求导
9.广义积分和级数的敛散性的判断。
10.介值定理和零点定理的应用。关键在于观察和变换所要证明等式的形式，构造辅助函数。
11.保号性。极限的性质中最重要的就是保号性，注意保号性的两种形式以及成立的条件。
12.第二类曲线积分和第二类曲面积分。在求解的过程中一般会使用格林公式和高斯公式，大部分同学都会把精力关注在是否闭合，偏导是否连续上，而忘记了第三个条件——方向，要引起注意。
线性代数
1、行列式的计算。行列式直接考察的概率不高，但行列式是线代的工具，判定系数矩阵为方阵的线性方程组解的情况及特征值的计算都会用到行列式的计算，故要引起重视。
2、矩阵的变换。矩阵是线代的研究对象，线性方程组、特征值与特征向量、相似对角化，二次型，其实都是在研究矩阵。一定要注意在化阶梯型时只能对矩阵做行变换，不可做列变换变换。
3、向量和秩。向量和秩比较抽象，也是线代学习的重点和难点，研究线性方程组解的情况其实就是在研究系数矩阵的秩，也是在研究把系数矩阵按列分块得到的向量组的秩。
4、线性方程组的解。线性方程组是每年的必看知识点，要熟练掌握线性方程组解的结构问题，核心是理解基础解系，要能够掌握具体方程组的数列方法，更要能熟练解决抽象型方程组，一般会转化为系数矩阵的秩或者基础解，然后解决问题。
5、特征值与特征向量。特征值与特征向量起到承前启后的作用，一特征值对应的特征向量其实就是其对应矩阵作为系数矩阵的齐次线性方程组的基础解系，其重要应用就是相似对角化及正交相似对角化，是后面二次型的基础。
6、相似对角化，包括相似对角化及正交相似对角化。要会判断是否可以相似对角化，及正交相似对角化时，怎么施密特正交化和单位化。
7、二次型。二次型是线代的一个综合型章节，会用到前面的很多知识。要熟练掌握用正交变换化二次型为标准形，二次型正定的判定，及惯性指数。
8、矩阵等价及向量组等价的充要条件，矩阵等价，相似，合同的条件。
概率论与数理统计
1、非等可能 与 等可能。若一次随机实验中可能出现的结果有N个，且所有结果出现的可能性都相等，则每一个基本事件的概率都是1/N;若其中某个事件A包含的结果有M个，则事件A的概率为M/N。
2、互斥与对立 对立一定互斥，但互斥不一定对立。若A，B互斥，则PA+B=PA+PB，若A，B对立，则满足1A∩B=空集;2PA+B=1。
3、互斥与独立。若A，B互斥，则PA+B=PA+PB，若A，B独立，则PAB=PAPB;概率为0或者1的事件与任何事件都独立
4、排列与组合。排列与顺序有关，组合与顺序无关，同类相乘有序，不同类相乘无序。
5、不可能事件与概率为零的随机事件。 不可能事件的概率一定为零,但概率为零的随机事件不一定是不可能事件，如连续型随机变量在任何一点的概率都为0。
6、必然事件与概率为1的事件。必然事件的概率一定为1，但概率为1的随机事件不一定是必然事件。对于一般情形，由PA=PB同样不能推得随机事件A等于随机事件B。
7、条件概率。PA|B表示事件B发生条件下事件A发生的概率。若“B是A的子集”，则PA|B=1，但PB|A=PB是不对的，只有当PA=1时才成立。在求二维连续型随机变量的条件概率密度函数时，一定是在边缘概率密度函数大于零时，才可使用“条件=联合/边缘”;反过来用此公式求联合概率密度函数时，也要保证边缘概率密度函数大于零。
8、随机变量概率密度函数。对于一维连续型随机变量，用分布函数法，先讨论概率为0和1的区间，然后反解，再讨论，最后求导。对于二维随机变量，若是连续型和离散型，用全概率公式，若是连续型和连续型同样用分布函数法，若随机变量是Z=X+Y型，用卷积公式。